کاربرد روش‌های تعمیم‌یافته خطی در نرخ‌گذاری- بخش سوم

مبانی نظری مدل‌های تعمیم‌یافته خطی

با در نظر گرفتن مدل رگرسیون خطی ساده که به صورت y_i=x_i β+ε_i تعریف می‌شود و در آن i=1,…,n، y_i متغیر وابسته و x_i برداری از k از متغیرهای مستقل یا پیش‌بینی کننده، β برداری 1 در k از پارامترهای نامعین و ε_i متغیر تصادفی با میانگین صفر است. فرض می‌شود که ε_i مستقل از هم، با واریانس ثابت σ² و توزیع نرمال باشند. در این مدل‌ها آزمون فرض به صورت زیر تعریف می‌شود:

بر این اساس مدل رگرسیون خطی دارای  مؤلفه‌های زیر خواهد بود:

1- مؤلفه تصادفی : این مؤلفه توزیع متغیر وابسته را مشخص می‌نماید. در مدل خطی ساده توزیع متغیر وابسته معمولاً نرمال فرض می‌شود. 

2- مؤلفه سیستماتیک : این مؤلفه ترکیب خطی متغیرهای مستقل و ضرایب را به صورت پیش‌بینی‌کننده خطی η_i=x_i β  نشان می‌دهد. 

3- تابع پیوند میان مؤلفه تصادفی و سیستماتیک : عبارت x_i β=η_i پیش‌بینی کننده خطی نامیده می‌شود. میانگین متغیر پاسخ تابعی از پیش‌بینی‌کننده در تابع پیوند (g(η_i است. برای مدل خطی نرمال، تابع پیوند همانی  است. 

مدل‌های GLM در جهت تعمیم مؤلفه فوق به صورت زیر به وجود آمده‌اند:

1- در صورتی که مؤلفه تصادفی از توزیع غیرنرمال پیروی کند.

2- تابع پیوند همانی نباشد.